行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式等于零可以得出结论

|A|=0，，可得：

1、A的行向量线性相关；

2、A的列向量线性相关；

3、方程组Ax=0有非零解；

4、A的秩小于n。（n是A的阶数）

5、A不可逆

矩阵的行列式等于和不等于0

|A|≠0

<=> A可逆(又非奇异)

<=> 存在同阶方阵B满足AB=E(或BA=E)

<=> R(A)=n

<=> A的列(行)向量组线性无关

<=> AX=0 仅有零解

<=> AX=b 有唯一解

<=> 任一n维向量都可由A的列向量组唯一线性表示

<=> A可表示成初等矩阵的乘积

<=> A的等价标准形是单位矩阵

<=> A的行最简形是单位矩阵

<=> A的特征值都不等于0.

<=> A^TA是正定矩阵.