⑥ 若等差数列的项数为$2n$$(n∈\mathbf{N}^*)$，则$S_{2n}=n(a_n+a_{n+1})$，且$S_偶-S_奇=nd$，$\frac{S_偶}{S_奇}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$。若等差数列的项数为$2n-1(n∈\mathbf{N}^*)$，则$S_{2n-1}=(2n-1)a_n$（$a_n$为中间项），且$S_奇-S_偶=a_n$，$\frac{S_偶}{S_奇}=\frac{n-1}{n}$(其中$S_奇=na_n$，$S_偶=(n-1)a_n$)。

10、等比数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示$（q≠0）$，即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\geqslant2)$。

（1）等比数列的通项公式

若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则这个等比数列的通项公式是$a_n=a_1q^{n-1}(a_1,q≠0)$。

注：由$a_n=a_1q^{n-1}$，$a_m=a_1q^{m-1}$，可推出$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$，即$a_n=a_mq^{n-m}$。

所以有：① 在已知等比数列$\{a_n\}$中任一项$a_m$及公比$q$的前提下，可以使用$a_n=a_mq^{n-m}$求得等比数列中的任意项$a_n$。

② 已知等比数列$\{a_n\}$中的$a_m$和$a_n$两项，就可以使用$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$求出公比。

（2）等比中项

如果在$a$与$b$中间插入一个数$G（G≠0）$，使$a$，$G$，$b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项。

若$G$是$a$与$b$的等比中项，则$\frac{G}{a}=\frac{b}{G}$，即$G^2=ab$，$G=±\sqrt{ab}$。

注：（1）只有非零同号的两数才有等比中项，并且等比中项有两个，它们互为相反数。（2）在等比数列$\{a_n\}$中，从第2项起，每一项（有穷等比数列末项除外）是前一项与后一项的等比中项，即$a^2_n=a_{n+1}a_{n-1}(n\geqslant2，n∈\mathbf{N}^*)$。

（3）等比数列的性质

设$\{a_n\}$是公比为$q$的等比数列，那么

① 数列$\{a_n\}$是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即$a_1a_n=a_2a_{n-1}=a_3a_{n-2}=$$\cdots=$$a_ma_{n-m+1}$。

② 若$m$，$n$，$p$$(m,n,p∈\mathbf{N}^*)$成等差数列，则$a_m$，$a_n$，$a_p$成等比数列，即$a^2_n=a_ma_p$。

③ 若$m+n=p+q(m,n,p,q∈\mathbf{N}^*)$，则$a_ma_n=a_pa_q$。特别地，若$m+n=2p$，则$a_ma_n=a^2_p$。

④ 数列$\{λa_n\}$（$λ$为不等于0的常数）仍是公比为$q$的等比数列；

数列$\begin{Bmatrix}\dfrac{1}{a_n}\end{Bmatrix}$是公比为$\frac{1}{q}$的等比数列；

数列$\{|a_n|\}$是公比为$|q|$的等比数列；

若数列$\{b_n\}$是公比为$q^′$的等比数列，则数列$\{a_n·b_n\}$是公比为$q·q^′$的等比数列。

⑤ 当数列$\{a_n\}$是各项都为正数的等比数列时，数列$\{\lg a_n\}$是公差为$\lg q$的等差数列。

⑥ 在数列$\{a_n\}$中，连续相邻$k$项的和或积构成公比为$q^k$或$q^{k^2}$的等比数列（相邻$k$项的和都不为0）。

⑦ 在数列$\{a_n\}$中，每隔$k(k∈\mathbf{N}^*)$项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为$q^{k+1}$。

（4）等比数列的前$n$项和公式

若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和公式为$S_n=\begin{cases}na_1,\quad\quad\quad\quad\quad\ q=1\\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q},q≠1。\end{cases}$

注：当$q≠1$时，若已知$a_1$，$q$，$n$，则用$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$较方便；若已知$a_1$，$q$，$a_n$，则用$S_n=\frac{a_1-a_nq}{1-q}$较方便。

等比数列前$n$项和公式可看作函数关系$S_n=kq^n-k$（$k$，$q$是不为0的常数，且$q$不为1，$n∈\mathbf{N}^*$，它是关于$n$的指数类型的函数。

等比数列前$n$项和公式分$q=1$和$q≠1$两种情况，，因此用公式求和时，若公比$q$不确定，则要对公比进行分类讨论。

（5）等比数列前$n$项和的性质

① 若$\{a_n\}$为等比数列，$S_n$为其前$n$项和，当$q≠-1$时，$S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$，$\cdots$，仍构成等比数列，即有$(S_{2n}-S_n)^2=$$S_n·(S_{3n}-S_{2n})$，公比为$q^n$；当$q=-1$且$k$为奇数时$S_k$，$S_{2k}-S_k$，$S_{3k}-S_{2k}$，$\cdots$，可构成等比数列。

② 在等比数列中，若项数为$2n(n∈\mathbf{N}^*)$，$S_偶$与$S_奇$分别为偶数项与奇数项的和，则$\frac{S_偶}{S_奇}=q$；若项数为$2n+1$，则$\frac{S_奇-a_1}{S_偶}=q$。

③ 若$\{a_n\}$是公比为$q$的等比数列，则$S_{n+m}=S_n+q^n·S_m$。

④ 在等比数列$\{a_n\}$中，当$q=1$时，$\frac{S_n}{S_m}=\frac{n}{m}$；当$q≠1$时，$\frac{S_n}{S_m}=\frac{1-q^n}{1-q^m}$。

二、数列的相关例题

记$S_n$为等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和。已知$S_4=0$，$a_5=5$，则____

A．$a_n=2n-5$

B．$a_n=3n-10$

C．$S_n=2n^2-8n$

D．$S_n=\frac{1}{2}n^2-2n$

答案：A

解析：由已知可得$\begin{cases}S_4=4a_1+\frac{d}{2}×4×3=0,\\a_5=a_1+4d=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1=-3,\\d=2。\end{cases}$$∴a_n=2n-5$，故选A。