必修一汇总三:
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指数函数及其性质学案
一、学习目标：
1.理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质.
2.培养学生实际应用函数的能力
二、学法指导：
1. 在正确理解理解指数函数的定义,会画出基本的 指数函数的图象,并且能够归纳出性质及其简单应用.
2. 指数函数的图象和性质的学习,能够学会观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.
3. 掌握函数研究的基本方法,激发自主学习的学习兴趣
三、知识要点
1．指数函数的定义：函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是
2.指数函数的图象和性质： 的图象和性质
a>1 0<a<1

图
象

性
质 (1) 定义域：
（2）值域：
（3）过点（ ），即x= 时，y=
（4）在 R 上是函数 （4）在R上是 函数
四、教学过程：
（一）复习：
引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x
细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系可知，函数关系是 .
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为
在 , 中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
（二）新课讲解：
1．指数函数的定义：
函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R
探究1：为什么要规定a>0,且a 1呢？
①若a=0，则当x>0时， =0；当x 0时， 无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使 无意义. 如 ，这时对于x= ，x= ，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何x R， =1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a1在规定以后，对于任何x R， 都有意义，且 >0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).
探究2：函数 是指数函数吗？
指数函数的解析式y= 中， 的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y= +k (a>0且a 1，k Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y= (a>0,且a 1)，因为它可以化为y= ，其中 >0，且 1
2.指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出函数y= ，y= ，y= ，y= 的图象.
列表如下：
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
y= … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 …
y= … 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …

x … -1.5 -1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 1 1.5 …
y= … 0.03 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 31.62 …
y= … 31.62 10 3.16 1.78 1 0.56 0.32 0.1 0.03 …
我们观察y= ，y= ，y= ，y= 的图象特征，就可以得到 的图象和性质
a>1 0<a<1

图
象

性
质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数

（三）．例题分析：
例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）
分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求
解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y
经过1年，剩留量y=1×84%=0.841;
经过2年，剩留量y=1×84%=0.842;
……
一般地，经过x年，剩留量
y=0.84
根据这个函数关系式可以列表如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
用描点法画出指数函数y=0.84x的图象从图上看出y=0.5只需x≈4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半
评述：指数函数图象的应用；数形结合思想的体现
例2 （课本第81页）比较下列各题中两个值的大小：
① ， ； ② ， ； ③ ，
解：利用函数单调性
① 与 的底数是1.7，它们可以看成函数 y= ，当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y= 在R是增函数，而2.5<3，所以， < ；
② 与 的底数是0.8，它们可以看成函数 y= ，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y= 在R是减函数，而-0.1>-0.2，所以， < ；
③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号： >1； <1； > (责任编辑：haoxuee)