排列的定义和性质
1、排列
一般地,从$n$个不同元素中取出$m$($m≤n$))个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个排列$。$
2、排列数与排列数公式
(1)排列数
从$n$个不同元素中取出$m$($m≤n$))个元素的所有不同排列的个数叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的排列数,用符号${\rm A}^m_n$表示。
(2)排列数公式
①排列数公式:${\rm A}^m_n=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)$,$n,m∈\mathbf{N^*}$,并且$m≤n$。
②全排列:$n$个不同元素全部取出的一个排列,叫做$n$个元素的一个全排列,这时在排列数公式中$m$=$n$,既有${\rm A}^m_n$=$n×(n-1)×(n-2)×\cdots×3×2×1$。
(3)阶乘:正整数1到$n$的连乘积,叫做$n$的阶乘,用$n!$表示。
全排列公式${\rm A}^m_n=n!$,规定$0!=1$。
(4)排列数公式的阶乘表示:${\rm A}^m_n=\frac{n!}{(n-m)!}=\frac{{\rm A}^n_n}{{\rm A}^{n-m}_{n-m}}$。
(5)排列数的性质
性质1:${\rm A}^m_n=n{\rm A}^{m-1}_{n-1}$。
性质2:${\rm A}^m_n=m{\rm A}^{m-1}_{n-1}+{\rm A}^{m}_{n-1}$。
3、排列与组合的联系与区别
联系:排列与组合问题都是“从$n$个不同元素中取出$m$个元素”。
区别:组合问题与取出的元素顺序无关,而排列是把取出的元素再按顺序排列成一列,它与取出元素的顺序有关$。$
排列:不仅要取出元素,还要按照顺序排列$。$
组合:只取不排$。$
二、排列的相关例题
将$A,B,C,D, E$排成一列,要求$A,C,E$在排列中的顺序为“$A,,C,E$”或“$E,C, A$”(可以不相邻) , 则这样的排列数有___
A.24种 B.40种 C.60种 D.80种
答案:B
解析:五个元素的全排列数为${\rm A}^5_5$, 由于要求$A , C , E$在排列中的顺序为“$A,C , E$”或“$E ,C,A”$2种排法,所以满足条件的排法有$\frac{{\rm A}^5_5}{{\rm A}^2_3}×2=40$。故选B。