补集的定义和性质
1、定义
全集:一般地,,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作$U$。
补集:对于一个集合$A$,由全集$U$中不属于集合$A$的所有元素组成的集合称为集合$A$相对于全集$U$的补集,简称为集合$A$的补集,记作$\complement _UA$,即$\complement _UA={x|x∈U$,且$x\notin A}$。
2、补集的性质
$A∪\complement _UA=U$(一个集合与其补集的并集是全集)
$A∪\complement _UA=\varnothing$(一个集合与其补集的交集是空集)
$\complement _U\left( \complement _UA\right)=A$(一个集合的补集的补集是其本身)
$\complement _UU=\varnothing$(全集的补集是空集)
$\complement _U\varnothing=U$(空集的补集是全集)
$A\subseteq B\Leftrightarrow\left( \complement _UA\right)\supseteq\left( \complement _UB\right)$(在同一全集中,任何集合的补集是其自己的补集的子集)
若$A=B$,则$\complement _UA=\complement _UB$(在同一全集中,相等集合的补集也相等)
二、补集的相关例题
已知集合$U={1,2,3,4}$,集合$A={1,2}$,$B={2,3}$,则$\complement _U(A∪B)$=
A.${1,3,4}$
B.${3,4}$
C.${3}$
D.${4}$
答案:D
解析: 由题得$A∪B={1,2,3}$,$∴\complement _U(A∪B)={4}$,故选D。